数列

数列(sequence)是一个函数,其定义域是两个给定整数之间的所有整数，或者大于等于某个给定整数的所有整数.

通常将一个数列表示为一排元素的集合,记为 $$ a_m,a_{m+1},a_{m+2},\cdots,a_n $$ 每个元素$a_k$称为一项(term), $a_k$中的$k$称为下标(subscript)或索引(index)

$m$是首项的下标,而$n$则是末项的下标.

无穷数列可以表示为: $$ a_m,a_{m+1},a_{m+2},\cdots $$ 数列的通项公式或显式公式表示项 $a_k$的值与下标$k$之间的关系.

不同的通项公式可能会产生元素相同的数列

求和符号

求和符号$\sum\limits_m^n a_k$表示$a_m,a_{m+1},a_{m+2},\cdots,a_n$的和,$a_m,a_{m+1},a_{m+2},\cdots,a_n$被称为求和的展开式(expand form),记为: $$ \sum_m^n a_k=a_m,a_{m+1},a_{m+2},\cdots,a_n $$ $k$被称为求和下标,$m$是求和的下限,$n$是求和上限.

乘积符号

乘积符号$\prod\limits_{m}^{n} a_k$表示$a_m\cdot a_{m+1}\cdot a_{m+2}\cdot \cdots\cdot a_n$的积记为: $$ \prod_m^n a_k=a_m\cdot a_{m+1}\cdot a_{m+2}\cdot \cdots\cdot a_n $$ 一些性质

$\sum\limits_m^n a_k+\sum\limits_m^n b_k=\sum\limits_m^n(a_k+b_k)$
$c\cdot\sum\limits_m^n a_k=\sum\limits_m^n(c\cdot a_k)$
$\left(\prod_m^n a_k\right)\left(\prod_m^n b_k\right)=\prod_m^n(a_k\cdot b_k)$

阶乘与组合数

正整数$n$的阶乘记作$n!$,定义为从$1$到$n$,所有正整数的乘积 $$ n!=n\cdot(n-1)\cdots3\cdot2\cdot1 $$

$0$的阶乘定义为$1$,即$0!=1$

阶乘的递归定义

阶乘还可以递归的定义为 $$ n!= \begin{cases} 1 & \text{if } n=0 \\ n(n-1)! & \text{if } n\ge1 \end{cases} $$

对于整数$n$和$r$($0\le r\le n$),符号 $$ \binom{n}{r} $$ 表示从一个$n$个元素的集合选择出具有$r$的元素的子集的个数.其中 $$ \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!} $$

组合数计算的例子

例1例2例3

\[ \begin{align*} \binom{8}{5}=&\frac{8!}{5!\cdot(8-5)!} \\ =&\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3\cdot2}\cdot1} \\ =&56 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \binom{4}{4}=&\frac{4!}{4!\cdot(4-4)!} \\ =&\frac{\cancel{4!}}{\cancel{4!}\cdot1} \\ =&1 \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \binom{n+1}{n}=&\frac{(n+1)!}{n!\cdot((n+1)-n)!} \\ =&\frac{(n+1)\cdot\cancel{n!}}{\cancel{n!}\cdot1} \\ =&n+1 \end{align*} \]